基于方浩概率论/级数强化课的笔记
概率论
1. 随机事件和概率
古典概型
分清放回与不放回：
- 放回时为独立重复实验（需要考虑顺序）
- 不放回为古典概型（此时无需考虑顺序）
注意有排序时要乘C(1,n)，没有排序时不用。
例如取两次，先红再白则要概率乘2，两次均红则不用
2. 随机变量及其分布
分布函数
关键要求：
- 连续
- 单调不减
- x趋近于正无穷为1，趋近于负无穷为0
- 值只能在[0,1]范围内
- 右连续（这个最重要）【P{X<=x}，因此分布函数必然包含x+0，为右连续】
判断某个函数是否能作为分布函数时，先看单调性，再看趋近于正无穷负无穷，最后看右连续。
注意：右连续要求区间只能是左闭右开，可以用求右极限判断
极限值的正负：x趋近于a+时，-x趋近于a-，经常用来判断是否是右连续。
3. 多维随机变量的分布
定义：F(x,y) = P{X<=x, Y<=y}
性质：
- F(+∞, +∞) = 1（两个正无穷为1）
- F(-∞, y) = 0 / F(x, -∞) = 0 （只要有一个负无穷就为0）
边缘分布：F_X(x) = P{X<=x} = P{X<=x, Y <= +∞}
注意：只能由二维推出一维，不能由一维推出二维。
联合概率密度函数/联合分布
绝大多数X、Y不独立。
二维连续型独立的两个必要条件：
- 积分区间是矩形
- f(x,y) = g(x) * h(y)【即变量可分离】
先看范围，画出区域。
条件分布/边缘分布
注意区别，边缘分布是一元概率，条件分布是在Y=y的条件下，X的一元分布。
条件分布与条件没关系，不能代条件概率公式！
注意区分P{X<1 | Y=1/2}与P{X<1 | Y<1/2}，计算完全不同！
前者需要直接代入Y=1/2求X的一元概率密度，后者代条件概率公式求二元分布（即确定区域求二重积分）。
- 例如
P{-1<X<1/3 | Y=1/2}，此时Y=1/2，直接代入f(x,y)得到f_X|Y(x|y)，即在Y=1/2条件下，X的分布。 - 但对
P{-1<X<1/3 | Y<1/2}完全不同，化为：P{-1<X<1/3, Y<1/2} / P{Y<=1/2}。- 注意求这个式子的分子要仔细画出二重积分的积分区域再积分。
P{X+Y>a}型的概率
画出联合概率分布的区间，再画图y=a-x直线，取相交的区域求二重积分。
二维正态分布
两种写法：
- f(x,y) = 1/2pi * e^(x^2 + ρ + y^2)
- (X,Y) ~ N(u1, u2, σ1^2, σ2^2, ρ)
性质：
边缘分布是一维正态分布，且与ρ无关
X,Y独立 <=> ρ=0
(ax+by, cx+dy) 满足二维正态分布【即线性组合是二维正态】
最重要的性质：ax+by满足一维正态分布，且与ρ无关（即无论是否独立都成立）
即一维正态分布服从独立可加性，这是概率论中最重要的结论，一定要满足独立。
但对二维正态，其边缘分布一定是一维正态，因此X,Y的任意线性组合也一定符合正态分布，可以不独立。
注意线性组合之后服从正态的参数：
ax+by ~ N(a * u1 + b * u2, a^2 * σ1^2 + b^2 * σ2^2 )，方差无论随机变量是加还是减，结果均为方差之和。
计算二维正态的关键：配方出标准形式，使负无穷到正无穷的积分为1。
级数
先判断收敛域，大多用柯西判别法：开n次方根，取n->无穷
基本思路：
拆分复杂的级数，变成单一幂级数。
将各项中的因子补齐，配成子母型级数。
凑出泰勒级数
将收敛域内无定义点补齐（和函数连续）
常用基本级数：
- 对子型级数：
这里写的子型级数形式不太直观，实际上就是将级数Σ x^n = 1/(1 - x)求导得到的：
Σ x^n = 1/(1-x)
Σ n * x^(n-1) = 1/(1-x)的导数，即1/(1-x)^2
Σ n * (n - 1) * x^(n-2) = 1/(1-x)的二阶导即2/(1-x)^3
用的时候配凑要将x的次方补齐。
- 对母型级数：
跳项时：例如对(4)的x^(2n-1)，可以拆成[ln(1+x) - ln(1-x)] * 1/2.
交错 + 跳项，则为arctan(x)
遇到x^2n要换元
遇到x^2n-1先等式两边乘x再换元(x可以随便乘除)
注意：在两边乘除x时，如果是除x，需要考虑是否可以取0。可取时需要单独计算S(0)。
此时x=0时，求S(0)只需要计算n=0时，因为：
- 0^0 = 1
- 0! = 1