所有学过高数的大学生都知道，如果在极限式中出现了乘除形式的等价无穷小（其实加减形式也可以用，但有条件），可以非常方便地直接替换化简。不过究竟是为什么呢？
课本上的描述很形象，因为两个无穷小在趋近于0时表现相同，所以可以替换，但让人更加迷惑，什么是表现相同呢？说到底，无穷小的阶到底是什么？更关键的问题在于：究竟如何求得一个表达式的等价无穷小。
等价无穷小的证明很容易：
$$
\lim\limits_{x\to0}\frac{u(x)}{v(x)}=1
$$
求出这个比值极限，为1则说明是等价无穷小。例如：
$$
\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin\x}{x} = 1
$$
$$
\lim\limits_{x\to0}\frac{1-\cos\x}{\frac{1}{2} \times x^2} = 1
$$
也可写作：
$$
x\thicksim\arctan x \thicksim \sin\ x \thicksim \tan x \thicksim \ln{(x+1)} \thicksim e^x-1 \thicksim \arcsin x \thicksim \ln{(x+\sqrt{1+x^2})}
$$
注意最后一个很常用。
但如果给出任意一个函数表达式，如何计算它的等价无穷小呢？
高数书上其实也已经给出了答案，就是用泰勒展开式计算。
所谓无穷小的阶，实际上是泰勒公式的余项精度差异。等价无穷小的定义：
$$
f(x) = g(x) + o(x)
$$
即无穷小等于其等价无穷小 + 高阶无穷小。移项得，两个等价无穷小相减，得到高阶无穷小，实际上是相同精度的泰勒公式相减得到更高精度的余项。
例如sinx的泰勒展开式：
$$
\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} - …….
$$
很容易发现，在泰勒公式精度为一阶时，展开为：
$$
\sin x = x + o(x)
$$
即x + x的高阶无穷小,因此x与sinx为同阶无穷小。
而在在同阶无穷小相减时，例如：
$$
x - \sin x = \frac{x^3}{6} +o(x^3)\qquad \qquad \quad \ \ \arcsin x=x+\frac{x^3}{6}+o(x^3)
$$
得到的就是泰勒展开式的下一项，因此有等价无穷小：
$$
x - \sin\ x \thicksim \frac{x^3}{6}
$$
所以实际上，一切等价无穷小替换的题目都可以用泰勒公式展开计算，而且永远不会碰到0 - 0，因为在等价无穷小中略去的高阶无穷小，都在泰勒展开式的余项中，继续展开计算即可。